Общая постановка двухиндексных задач

Автоматические линии — массовая автоматическая обработка станками

Назначение автоматических линий (АЛ), как и любого другого оборудования, сводится к повышению производительности и увеличению прибыли. В данном случае эффективность достигается за счет многоинструментной и многопозиционной обработки деталей, сокращения доли живого труда, т. е. концентрации производства, полной автоматизации вспомогательных процессов и резкого уменьшения количества обслуживающего персонала.

Автоматические линии — это ряд автоматически управляемых станков, транспортных и контрольных механизмов, работающих по заданному технологическому процессу и представляющих собой единую систему, предназначенную для массовой обработки устойчивых по конструкции изделий АЛ используются преимущественно в массовом производстве разных отраслей промышленности, а в машиностроении они выполняют широкую номенклатуру операций: сверлильно-расточные, резьбонарезные, фрезерные, шлифовальные, токарные, зуборезные, кузнечно-прессовые, литейные, сварочные, термические, окрасочные, гальванические и др.

Впервые металлорежущие станки были соединены передающим устройством на английской фирме «Моррис моторз» в 19231924 гг. при изготовлении блоков цилиндров для автомобильных двигателей. Линия выполняла 53 операции и обрабатывала 15 блоков в час Линия обслуживалась 21 оператором, но управлялась она с помощью рычагов и поэтому была ненадежной в эксплуатации В 1928 г. фирма «А. О. Смит энд К°» построила завод в Милуоки (США), на котором было полностью автоматизировано производство автомобильных рам Изготовление рам начиналось с получения стальной полосы, которая сначала проходила через контрольную позицию, где проверялась и выправлялась. Затем по мере продвижения по автоматической станочной линии полоса резалась, гнулась, пробивалась и прессовалась, приобретая различные формы, необходимые для различных частей шасси. Так же автоматически все части собирались и клепались, затем собранные рамы обрабатывались металлическими щетками и протирались для последующей окраски. На линии, обслуживаемой 120 рабочими, главным образом наладчиками и ремонтниками, ежедневно производилось около 10 тысяч рам Таким образом, на каждую раму затрачивалось 16 человеко-минут.

В 1929 г. фирма «Грехем Пейдж Моторс» (США) создала автоматическую систему на базе агрегатных станков для обработки блока цилиндров машины. Автоматическая линия, созданная фирмой «Джон Бертрам» (Канада) на основе агрегатных станков, имела главный пульт централизованного дистанционного управления При этом у каждого станка (блока) была своя панель управления. Таким образом, впервые была создана единая сблокированная автоматическая система машин.

В Советском Союзе станочная линия впервые была создана в 1939-1940 гг. на Сталинградском тракторном заводе. Она состояла из 5 станков, соединенных конвейерами, и предназначалась для обработки роликовых втулок для гусеничных тракторов Первая поточная автоматическая линия была построена на базе модернизированных станков ручного управления.

Во время Второй мировой войны и в послевоенные годы автоматические станочные линии агрегатных станков получили большое распространение на советских машиностроительных заводах В 1946 г. ЭНИМС и завод «Станкоконструкция» создали автоматическую линию станков для обработки блоков двигателей тракторов.

В этом же году была создана линия для обработки головки двигателя трактора ХТЗ. В 1947 г. созданы четыре автоматические линии для обработки блоков двигателей грузовых автомобилей ЗИЛ-150. Одна из четырех линий состояла из 8 станков типа А291, А306 и имела 8 рабочих позиций, 224 шпинделя, а также 20 электродвигателей. Управление автоматической линией производилось с центрального пульта, снабженного световой сигнализацией Протяженность линии 17,2 м С этого времени началось быстрое внедрение автоматических линий в СССР.

В конце 1955 г. на Первом государственном подшипниковом заводе (ГПЗ-1) был создан и в 1956 г. вошел в строй цех, оборудованный двумя автоматическими линиями по производству шариковых и роликовых подшипников. На линии полностью автоматизированы все операции механической и термической обработки колец, контроля, сборки, антикоррозийной обработки, упаковки изделий и удаления стружки (рис. 1). Благодаря внедрению автоматических линий производственный цикл изготовления подшипников сократился в 4-5 раз, а выработка на одного рабочего повысилась в 2 раза.

Рис. 1. Цех-автомат на ГПЗ-1

1. Классификация автоматических линий

Учитывая широкое применение АЛ в промышленности, их классифицируют по разным свойствам: по типу оборудования, расположению оборудования, типу связи между станками, способу транспортирования обрабатываемых деталей АЛ делят на жесткие (синхронные) и гибкие (асинхронные), сквозные и несквозные, ветвящиеся и неветвящиеся.

По типу оборудования различают автоматические линии, скомпонованные из специально построенных для данной АЛ, универсальных или специализированных станков Два последних типа перед встраиванием в линию должны быть модернизированы и автоматизированы.

По расположению оборудования АЛ делятся:

• на линейные, кольцевые, прямоугольные, зигзагообразные, z-образные;
• на однопоточные и многопоточные;
• с зависимыми и независимыми потоками;
• с поперечным, продольным и угловым расположением основного технологического оборудования.

Большинство компоновок имеет незамкнутую структуру, обеспечивающую более удобный доступ для обслуживания и ремонта.

По типу связей между станками АЛ делятся:

• на жесткие (синхронные). Такая межоперационная связь характеризуется отсутствием межоперационных заделов. Заготовки загружаются, обрабатываются, разгружаются и передвигаются от станка к станку одновременно или через кратные промежутки времени, в случае остановки любого устройства вся линия останавливается;
• нежесткие (асинхронные) . Межоперационные связи обеспечиваются наличием межоперационных заделов, размещаемых в накопителях или транспортной системе. Это дает возможность при выходе из строя любого станка работу остальных станков до истощения межоперационных заделов не останавливать

По способу транспортирования обрабатываемых деталей АЛ бывают:

• со сквозным транспортированием через рабочую зону станков — применяется в основном при обработке корпусных деталей на агрегатных станках;
• с верхним транспортированием заготовок — применяется при обработке зубчатых колес, фланцев, валов и других деталей;
• с боковым (фронтальным) транспортированием — примеряется при обработке коленчатых и распределительных валов, гильз, крупных колец;
• с роторным транспортированием — применяется на роторных АЛ, где обработка и транспортирование полностью или частично совмещены

АЛ можно разделить по способу перемещения обрабатываемых деталей с позиции на позицию:

• на спутниковые (для обработки сложных по форме деталей, которые трудно или невозможно транспортировать и закреплять в автоматическом режиме с помощью механических устройств);
• бесспутниковые (для обработки деталей, имеющих развитые базовые поверхности, гарантирующие их надежную и точную установку на транспортере и в зажимном приспособлении).

Конструкция станков, входящих в состав линий (как специально построенных для данной АЛ, так и универсальных или специализированных), при встраивании в АЛ не претерпевает существенных изменений. Доработке подвергается только система управления (работу каждого отдельного станка надо согласовать с работой всей линии), а станок снабжается устройством автоматической загрузки заготовки с транспортера. Оборудование АЛ, помимо станков, включает транспортные системы и системы управления.

2. Транспортные системы и механизмы АЛ

Конструкции транспортных систем и механизмов АЛ зависят по большей части от параметров обрабатываемых деталей.

Транспортные системы АЛ являются одной из их основных характеристик. Они делятся:

• по целевому назначению (на системы для межоперационного и межстаночного перемещения и для удаления стружки);
• по способу перемещения деталей (циклического и непрерывного действия);
• по методу перемещения деталей (под действием силы тяжести, принудительно и смешанным способом)

Основными видами транспорта АЛ являются:

• элементарные транспортеры;
• распределительные транспортеры (разделяющие поток заготовок на две или более части и соединяющие разделенные потоки);
• поворотные устройства (поворачивающие заготовку вокруг вертикальной или горизонтальной оси);
• подъемники (поднимающие заготовки вверх при расположении транспортера над станками);
• манипуляторы (передают заготовки с транспортера в зону обработки станка);
• транспортеры для уборки стружки и пр.

Для перемещения заготовок с одной рабочей позиции на другую применяют разные виды транспортеров: толкающие, цепные, подвесные, ленточные, роликовые, винтовые, инерционные, лотки, трубы и т. п.

Одна из модификаций шагового штангового транспортера с собачками показана на рис. 2, а. Для перемещения деталей, имеющих развитую опорную поверхность, эти транспортеры совершают возвратно-поступательное движение вдоль линии. Все детали 1, находящиеся на транспортере, за один цикл синхронно перемещаются на величину хода штанги 3 от пневмоцилиндра 4. При движении штанги 3 в обратном направлении собачки 2 проскальзывают под деталями.

Рис. 2. Простейшие транспортные системы автоматических линий: 1 — деталь; 2 — перемещающий элемент транспортера; 3 — штанга; 4 — привод.

Цепные транспортеры (рис. 2, б) применяют на многих линиях, где надо непрерывно двигать заготовки в процессе обработки. Движение деталей 1 на таком транспортере не является синхронным. В конце транспортера детали обычно накапливаются в небольшом заделе. В качестве шаговых цепные транспортеры почти не применяют. Это объясняется тем, что обеспечить точное перемещение заготовок для их фиксации при базировании и зажиме на рабочих позициях цепной транспортер не может.

Транспортные системы бывают с жесткой, гибкой и смешанной связью.

Жесткая межоперационная связь характеризуется отсутствием или очень малой величиной межоперационных заделов. В АЛ с жесткой связью заготовки загружаются, обрабатываются, разгружаются и передвигаются от станка к станку синхронно через кратные промежутки времени и в случае остановки любого агрегата или устройства вся линия останавливается.

В АЛ из агрегатных станков для обработки корпусных деталей большей частью применяют транспортные системы с жесткой связью оборудования, к которым относятся шаговые конвейеры с убирающимися собачками или поворачивающимися флажками. В целях сокращения простоев в АЛ с жесткой связью применяют конвейеры с управляющимися собачками, которые позволяют производить небольшое межоперационное накопление деталей между станками.

Гибкая межоперационная связь обеспечивается наличием межоперационных заделов, размещаемых в накопителях или транспортной системе, что создает возможность при выходе из строя любого станка работу остальных агрегатов до истощения межоперационных заделов не прекращать. Показанные на рис. 2 штанговый и цепной конвейеры относятся к системам с жесткой и гибкой связью соответственно.

В АЛ с гибкой связью для обработки главным образом деталей типа тел вращения (кольца, фланцы, валики) чаще всего применяются транспортные системы в виде цепных, роликовых, винтовых и вибрационных конвейеров, подъемников, лотков. При гибкой связи координация перемещений деталей в линии отсутствует.

Для уменьшения потерь рабочего времени, связанного с наладкой отдельных станков АЛ, в линию встраивают накопительные устройства. Для этого сплошной поток разделяют на отдельные участки, каждый из которых при остановке других может работать самостоятельно В синхронных АЛ транспортная система практически не может быть использована в качестве накопителя заготовок Детали, находящиеся на холостых позициях линии, не могут расходоваться в период простоя отдельных станков В несинхронных АЛ накопители находятся между отдельными станками или участками В системах линий накопители находятся также между отдельными линиями.

Для обеспечения работы АЛ по обработке корпусных деталей наиболее простые накопители заделов выполняются в виде площадок-складов, расположенных на стыке участков линии. Такие накопители обслуживаются рабочими вручную.

Автоматизированные накопители заделов корпусных деталей бывают двух типов: проходные (транзитные) и тупиковые.

Проходные накопители характеризуются тем, что в них детали транспортируются и при нормальной работе, а не только при простое одной из смежных секций. Обычно в качестве проходного накопителя корпусных деталей используется транспортер для передачи заготовок из секции в секцию (рис. 3). Транспортер выполнен в виде бесконечной цепи со свободно вращающимися роликами 3. При достижении деталью 2 неподвижного упора 1 или ранее поданной детали ролики прокатываются по нижней поверхности детали 2 (см. ролик в разрезе).

Рис. 3. Схема проходного накопителя заделов для корпусных деталей

Тупиковый накопитель (рис. 4) работает только при простое одной из смежных с ним секций. Секция 6 передает детали на позицию 8, соединенную с поперечным транспортером 5, а также с транспортером 7, предназначенным для передачи деталей в тупиковый накопитель заделов и из него Наличие деталей на позициях 2 и 8 контролируется конечными выключателями. Транспортер секции 6 выдает деталь на позицию 8 лишь при условии что на этой позиции нет детали.

Рис. 4. Схема тупикового накопителя корпусных деталей

Транспортер секции 5 совершает ход вперед только в том случае, если на позиции 8 есть заготовка (ее он забирает), а на позиции 2 она отсутствует. Транспортер секции 1 совершает ход вперед, забирая деталь с позиции 2, лишь если на этой позиции есть деталь.

Эти условия соблюдаются при нормальной совместной работе секций. При простое секции 6 позиции 8 и 2 свободны (и транспортеры 5 и секции 1 не работают), и если на первом транспортере 3 накопителя есть деталь, то этот транспортер выдает деталь, транспортер 7 подает ее в позицию 8 и этим включаются транспортеры 5 и секции 1. Если начнет работать секция транспортера 7, то выдача деталей из накопителя прекращается. Если секция 6 не работает, то израсходуется весь запас и остановятся все транспортеры секций 6 и 1 и накопителя.

Если при нормальной работе с позиции 2 деталь не забирается секцией 1 и в накопителе есть свободная емкость, то с позиции 8 деталь забирается транспортером 7 и штанга накопителя начинает работать на накопление до тех пор, пока не начнет работать секция 1 или не окажется израсходованной емкость накопителя.

Уменьшение потерь не единственный критерий для деления линии на секции. Накопитель заделов вводится между двумя смежными станками, только если это не связано с крупными затратами Иногда накопители совсем не применяются из-за больших затрат на их устройство.

В качестве накопителей мелких деталей используются бункера.

Емкость накопителей заделов зависит от средней длительности простоя секции. Бункер для накопления мелких заготовок должен вмещать не меньше десятикратного числа заготовок, нужных для ликвидации простоя средней длительности На линиях для крупных деталей в накопителе собирают столько деталей, чтобы их хватило на время работы линии, превышающее простой в 1,5-6 раза. К чрезмерному увеличению размеров накопителей надо относиться осторожно и помнить, что незавершенное производство, создаваемое накопителями, отрицательно влияет на экономические показатели работы АЛ.

На многих автоматических линиях выполняется обработка деталей с двух сторон. Для изменения стороны обработки деталь надо повернуть. Механизмы изменения ориентации обрабатываемых деталей зависят от вида связи между станками: жесткая она или гибкая. При жесткой связи используются кантователи — поворотные столы, выполняющие эту операцию в строго определенном порядке. Во втором случае чаще используются разные загрузочные устройства или их элементы, использующие профиль детали и силы тяжести, разные упоры и ограничители.

Гидравлические механизмы поворота выполняют на основе гидроцилиндра в совокупности с зубчатой передачей и обгонной муфтой, в сочетании с мальтийским крестом или рычажно-храповым механизмом, а также на основе гидродвигателя или однополостного гидромотора. Аналогичные схемы имеют пневматические и пневмогидравлические механизмы поворота В электрических механизмах применяют асинхронные или шаговые электродвигатели Из механических механизмов поворота наиболее часто применяют рычажные, мальтийские, кулачковые и зубчатые.

После перемещения заготовки по транспортеру к станку в дело вступает загрузочное устройство. По месту расположения загрузочные устройства делятся:

• на непосредственно встроенные в автоматы и являющиеся их неотъемлемыми узлами и работающие от общего привода;
• расположенные около станков и между участками линии и имеющие самостоятельный привод

По характеру подачи деталей загрузочные агрегаты делят на непрерывные и циклические. Они приводятся в действие от механического, гидравлического или пневматического привода.

В зависимости от принятого метода накопления деталей устройства делят:

• на бункерные (мелкие детали в них располагаются навалом);
• магазинные (детали в емкости располагаются ориентированно в один ряд);
• штабельные (детали в емкости располагаются ориентированно в несколько рядов или слоев)

По конструктивному исполнению загрузочные устройства делят на цепные, фрикционные, трубчатые, дисковые и лотковые. Детали могут перемещаться под действием подающего диска, толкателя, цепи, вибрационного механизма, вращающихся щеток и других механизмов, а также под действием силы тяжести.

Среди загрузочных приспособлений как наиболее совершенные надо выделить манипуляторы и промышленных роботов.

Зажимные приспособления АЛ, как уже говорилось, есть двух видов: стационарные и приспособления-спутники.

Стационарные приспособления являются частью станка АЛ. В них подают, устанавливают, закрепляют и обрабатывают заготовки с надлежащим направлением режущего инструмента. После обработки заготовку открепляют, удаляют из приспособления и передают на транспортирующее устройство для перемещения на следующий станок Стационарные зажимные приспособления обычно одноместные однопозиционные, реже многопозиционные (поворотные) и многоместные. Эти приспособления автоматических линий имеют свои особенности. Заготовки в эти приспособления подаются и устанавливаются простейшим движением транспортирующего устройства линии В качестве установочных элементов используют опорные планки и два выдвижных пальца с коническими фасками. По сложной траектории (дуги и прямые) с помощью автооператоров заготовки деталей типа тел вращения обычно подаются в центры станков.

Автоматический контроль правильности установки заготовки в приспособление предупреждает брак и аварии. Работа приспособлений жестко согласована с действиями станка и конвейера.

Приспособления-спутники представляют собой устройства, которые несут закрепленные в них заготовки по всей трассе АЛ. Их применяют для обработки заготовок сложной конфигурации, реализуя принцип постоянства установочных баз Приспособление- спутник обычно представляет собой плиту прямоугольной формы с базовыми и зажимными элементами. В начале линии на спутнике вручную устанавливают и закрепляют заготовку Дальнейшее перемещение спутника с заготовкой не отличается от перемещения корпусной заготовки. Как и у корпусной детали, у плиты приспособления-спутника есть опорная поверхность и два установочных отверстия В конце линии заготовку открепляют и снимают Приспособления-спутники, кроме повышения качества обработки заготовки, усложняют АЛ из-за необходимости их возврата, удорожают ее и вынуждают организовывать жесткую транспортную связь.

Большой проблемой на автоматических линиях является удаление стружки. Ее удаляют из рабочей зоны станков, смывая эмульсией, сдувая сжатым воздухом или перемещая подвижными элементами станков и конвейера. При обработке деталей из чугуна без охлаждения применяется отсасывание металлической стружки и графитовой пыли с помощью гидроциклонов. Удаление стружки из отверстий производится выдуванием или вытряхиванием на спецустройствах. В особенно затруднительных случаях применяют экзотические методы вроде взрыва. Для улучшения отвода сливной стружки и предотвращения ее сворачивания в клубок на режущем инструменте применяют стружколомы, с опорных поверхностей приспособлений такую стружку смывают и сдувают Для обеспечения чистоты опорных поверхностей детали моют на встроенных в АЛ моечных машинах. После удаления со станка стружку транспортируют двумя способами: конвейерами, расположенными вне линии и встроенными в линию При этом используются скребки, шнеки, виброимпульсы, смыв стружки струей СОЖ из сопел, расположенных вдоль канала для удаления стружки, с помощью электромагнитов

3. Системы управления АЛ

Завершает и объединяет в одно целое конструкцию автоматической линии система управления, которая вместе с комплексом механизмов рабочих и холостых ходов является обязательной составной частью автоматической машины, выполняющей заданный технологический процесс без участия человека Система управления определяет характер взаимодействия управляемых рабочих органов автоматической машины и объединяет:

• систему управления всеми движениями и очередностью работы основных и вспомогательных механизмов;
• системы блокирования и сигнализации, обеспечивающие безаварийность работы основных и вспомогательных механизмов;
• систему регулирования, служащую для подналадки станков и инструментов;
• систему контроля, служащую для анализа результатов обработки

В системах управления АЛ применяют электрические, гидравлические и пневматические устройства связи, которые делятся:

• на внешние (обеспечивают согласование работы независимых друг от друга участков АЛ);
• внутренние (цепи управления, обеспечивающие последовательную работу отдельных механизмов станков, входящих в АЛ);
• промежуточные (обеспечивают согласованную работу отдельных станков какого-либо участка АЛ);
• вспомогательные (согласовывают работу отдельных агрегатов с другими системами управления).

Внешние и вспомогательные связи почти всегда бывают электрическими, а промежуточные — комбинированными (электромеханическими, электрогидравлическими или электропневматиче- скими) . Внутренние связи обеспечиваются разными устройствами: механическими, электрическими, пневматическими, гидравлическими или их комбинацией. На автоматических линиях управление последовательностью фаз работы агрегатов, в зависимости от назначения и состава оборудования, размера линии, а также длительности цикла ее работы, бывает централизованным, децентрализованным или смешанным.

Система управления автоматической линии включает программоноситель, считывающее устройство, устройство ввода программы, передаточно-преобразующее устройство, исполнительное устройство, систему обратной связи. Основными программоносителями, от которых поступают команды управления АЛ, являются:

• передвижные упоры (например, в АЛ применяются силовые столы, на верхнюю плоскость которых устанавливаются шпиндельные узлы с самостоятельным приводом вращения — фрезерные, расточные, револьверные бабки Включение различных этапов цикла стола происходит по команде, поступающей от конечного выключателя после нажатия на него упора);
• распределительные валы с кулачками (например, при включении в АЛ многошпиндельных или одношпиндельных токарных автоматов, управляемых от одного или двух распределительных валов — при включении в АЛ специализированных станков);
• копиры (например, те же гидрокопировальные токарные полуавтоматы);
• перфоленты, компакт-диски, флэш-карты.

Управление каждого отдельного станка обязательно согласуется с общим управлением АЛ.

Общая постановка двухиндексных задач

Пример 7. На двух автоматических линиях выпускают аппараты 3-х типов. Условия производительности и затрат на работу приведены в табл. 7.

Составить такой план загрузки линий, чтобы суммарные затраты были минимальны, а задание было бы выполнено не более, чем за 15 суток.

Решение: х_ij – затраты времени на изготовление i-го вида продукции на j-ой линии. Суммарные затраты на выполнение плана по производству:

4х₁₁ + 3х₁₂ = 50 — ограничения объема продукции А,

6х₂₁ + 5х₂₂ = 40 — ограничения объема продукции В,

8х₃₁ + 2х₃₂ = 50 — ограничения объема продукции С.

Так как время работы каждого станка не превышает 15 суток, то

Пример 8. Выполнить заказ по производству 32 изделий И₁ и 4 изделий И₂ взялись бригады Б₁ и Б₂ . Производительность бригады Б₁ по производству изделий И₁ и И₂ составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады 9,5 ч. Производительность бригады Б₂ – соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени – 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады Б₁ равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады Б₂ – 15 и 30 руб.

Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.

Решение: пусть x₁₁ – количество изделий И₁ и x₁₂ – количество И₂, изготавливаемых бригадой Б₁; x₂₁ – количество изделий И₁ и x₂₂ – количество изделий И_2, изготавливаемых бригадой Б₂. Тогда

x₁₁ + x₂₁ = 32 — количество изделий И_1, произведенных бригадами Б₁ и Б₂

Если известна производительность каждой бригады, т.е. количество производимых изделий в 1 ч., то трудоемкость есть обратная величина. Тогда 1/4 ч тратит бригада Б₁ на производство одного изделия И₁ и 1/2 ч на производство одного изделия И₂; 1/1 ч тратит бригада Б₂ на производство одного изделия И₁ и 1/3 ч на производство одного изделия И₂.

1/4x₁₁ + 1/2x₁₂ ≤ 9,5 — общее время, затраченное бригадой Б₁ на выпуск изделий И₁ и И₂

1/1x₂₁ + 1/3x₂₂ ≤ 4 — общее время, затраченное бригадой Б₂

В общем виде: предприятию задан план производство продукции по времени и номенклатуре: требуется за время Т выпустить n₁, n₂, …, n_k единиц продукции Р₁, Р₂, … Р_к.. Продукция производится на станках S₁, S₂, …, S_m . Для любого станка известны производительность a_ij (число единиц продукции P_j которую можно произвести на станках S_i, ) и затраты b_ij на изготовление продукции P_j на станке S_i в 1единицу времени. Необходимо составить такой план работы станков х_ij (время, в течении которого станок S_i будет занят изготовлением продукции P_j), чтобы затраты на производство всей продукции были минимальны.

ограничение работы станков — ,

ограничения по номенклатуре — ,

1.2.2. Перевозка грузов

Пример 9.Заводы некоторой автомобильной фирмы расположены в городах А, В и С. Основные центры распределения продукции сосредоточены в городах D и E. Объемы производства указанных трех заводов равняются 1000, 1300 и 1200 автомобилей ежеквартально. Величины квартального спроса в центрах распределения составляют 2300 и 1400 автомобилей соответственно. Стоимости перевозки автомобилей по железной дороге по каждому из возможных маршрутов приведены в табл. 8.

Постройте математическую модель, позволяющую определить количество автомобилей, перевозимых из каждого завода в каждый центр распределения, таким образом, чтобы общие транспортные расходы были минимальны.

Стоимость перевозки автомобилей, руб./шт.

Решение. x_ik — количество груза, перевозимого от i поставщика к j потребителю, тогда целевая функция имеет вид:

Мощность поставщиков: x₁₁ + x₁₂ =1000

Мощность потребителей: x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ =230

В общем виде: a_i — количество груза, которое должен бы доставить потребителю (мощность поставщиков), где i = 1,p, b_j — мощность потребителей (j = 1,q), q — число потребителей, p — число поставщиков. Обозначим с_ij — коэффициент затрат (стоимость перевозки одной единицы продукции из i пункта в j). Необходимо составить план перевозок груза (указать сколько единиц груза должно быть отправлено из i пункта в j), чтобы суммарные затраты на перевозку были наименьшими.

Пусть x_ij — количество груза, перевозимого от i поставщика к j потребителю, тогда целевая функция имеет вид:

Начальные ограничения по ресурсам (5)

Начальные ограничения по потребностям (6)

Чтобы ТЗ ЛП имела решение необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, то есть выполняется условие:

Если отсутствует условие баланса (8), то ТЗ называется открытой. Для ее решения вводим:

— фиктивный (q+1) пункт потребления, если ∑а_i > ∑b_j, с объемом

— фиктивный (p+1) пункт отправления, если ∑а_i < ∑b_j, с объемом

Введение фиктивного потребителя или отправителя влечет необходимость формального задания фиктивных тарифов c_ij ф (реально не существующих) для фиктивных перевозок. Поскольку нас интересует определение наиболее выгодных перевозок, то необходимо предусмотреть, чтобы при решении задачи (при нахождении опорных планов) фиктивные перевозки не рассматривались до тех пор, пока не будут определены все реальные перевозки. Для этого надо фиктивные перевозки сделать невыгодными, то есть дорогими, чтобы при поиске решения задачи их рассматривали в самую последнюю очередь. Таким образом, величина фиктивных тарифов должна превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели, то есть

На практике возможны ситуации, когда в определенных направлениях перевозки продукции невозможны, например, по причине ремонта транспортных магистралей. Такие ситуации моделируются с помощью введения так называемых запрещающих тарифов c_ij з . Запрещающие тарифы аналогично должны превышать максимальный из реальных тарифов, используемых в модели:

Пусть требуется при решении ТЗ ограничить перевозки от поставщика l к потребителю k.

Тогда, сначала необходимо уменьшить запасы поставщика l и запросы k потребителя на величину а (т.е. зарезервировать перевозку х_lk = а). Затем в полученном оптимальном решении следует увеличить х_lk на а.

Тогда вместо потребителя k с объемом b_k ввести двух потребителей b_k = b и b_n+1 = b_k — b. Стоимости c_ij остаются прежними, а c_l(n+1) = M (М ≥ 1). Так как c_l(n+1) = M – самая максимальная стоимость, то в оптимальном решении клетка с номером (l; n+1) остается пустой (x_l(n+1) = 0). Затем ищем оптимальное решении Х. Итоговый объем перевозок есть сумма объемов столбцов b_k и b_n+1.

Примеры 10. Дана распределительная таблица. Объем перевозок груза от второго поставщика второму потребителю должен быть не менее 200 единиц, а от третьего к первому не более 300 ед. найти оптимальное решение.

Решение. Так как х₂₂ ≥ 200, то уменьшим запасы 2-го поставщика и 2-го потребителя на 200 ед.: а₂ = 400 – 200 = 200;

b₂ = 500 — 200 = 300.

Так как х₃₁ ≤ 300, то вместо b₁ = 300 и b₄ = 600 – 300 = 300 со стоимостями с₁₄ = с₂₄= 2;с₃₄= 100.

Так как задача открытая, то добавим 4-го поставщика:

Решение задачи дает оптимальное решение F_min = 5600, где

Увеличим х₂₂ на 200 и объединим объем перевозок 1-го и
4-го потребителя. Тогда F_min = 7800

1.2.3. Задача о назначениях

В общем виде: рассмотрим задачу формирования трудового коллектива. На коммерческом предприятии имеется n работников: A₁, A₂,…,A_m, каждый из которых должен выполнять одну B_j из имеющихся m видов работ: B₁, B₂. В_m. Для каждого работника А_i на рабочем месте B_j рассчитывается производительность труда c_ij. Необходимо определить, кого и на какую работу следует назначить, чтобы добиться максимальной или минимальной стоимости назначения суммарной производительности при условии, что каждый работник может быть назначен только на одну работу.

Обозначим x_ij назначение i-го работника на j-ю работу, которое может принимать только два целочисленных значения: 1, если i-й работник назначен на выполнение j-й работы; 0, если не назначен. Необходимо построить квадратную матрицу распределения по должностям X, которая обеспечивает экстремальное значение производительности или стоимость назначения:

Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи.

1.2.4. Построение кольцевых маршрутов

В общем виде: пусть расстояния между любой парой множества из n городов равно a_ij (i = 1,…, m; j = 1,…, n, i ≠ j). Если прямого маршрута между городами i и j не существует, то допускают, что a_ij = ∞. Коммерсант, выезжая из какого-либо города, должен посетить все города, побывав в каждом из них один и только один раз, и вернуться в исходный город. Необходимо определить такую последовательность объезда городов, при которой длина маршрута была бы наименьшей.

Обозначим x_ij = 1, если коммивояжер переезжает из города i в город j; в противном случае x_ij =0. Задача заключается в определении матрицы целых неотрицательных значений переменных x_ij, минимизирующих целевую функцию вида

при ограничениях для въезда в город j только один раз:

для выезда из города i только один раз:

1.2.5. Общая распределительная задача

Исходные параметры модели задачи распределения (РЗ):

1) n – количество исполнителей;

2) m – количество видов выполняемых работ;

3) a_i – запас рабочего ресурса исполнителя A_i (i = 1, n)
[ед. ресурса];

4) b_j – план по выполнению работы B_j ( j = 1, m) [ед. работ];

5) c_ij – стоимость выполнения работы B_j исполнителем A_i
[руб./ед. работ];

6) λ_ij – интенсивность выполнения работы B_j исполнителем A_i
[ед. работ / ед. ресурса];

Искомые параметры модели РЗ:

1) x_ij – планируемая загрузка исполнителя A_i при выполнении работ B_j [ед. ресурса];

2) x_ij к = (λ_ij*x_ij) – это количество работ j-го вида, выполненных i-м исполнителем.

3) L(X) – общие расходы на выполнение всего запланированного объема работ [руб.].

Распределительная матрица имеет вид:

Модель РЗ: L (X) = ∑∑ с_ij x_ij к → min

Этапы решения РЗ.

I. Преобразование РЗ в ТЗ:

1) выбор базового ресурса и расчет нормированных производительностей ресурсов α_ij = λ_ij/ λ_{баз j};

2) пересчет запаса рабочего ресурса исполнителей

3) пересчет планового задания b′_j = b_j / λ_{баз j} [ед. ресурса];

4) пересчет себестоимостей работ:

II. Определение оптимального решения ТЗ.

1) проверка баланса пересчитанных параметров ΣΣa′_i = ΣΣb′_j и построение транспортной матрицы.

2) поиск оптимального решения ТЗ X’* = x’_ij.

III. Преобразование оптимального решения ТЗ X’* в оптимальное решение РЗ X* по формуле

IV. Определение количества работ X к* = (x_ij k ), соответствующее оптимальному решению РЗ X*:

VI. Определение ЦФ распределительной задачи L(X*).

Пример 11. На фабрике эксплуатируются три типа ткацких станков, которые могут выпускать четыре вида тканей. Известны следующие данные о производственном процессе:

— производительности станков по каждому виду ткани, м/ч

— себестоимость тканей, руб./

— фонды рабочего времени станков (a_i ): 90, 220, 180 ч;

— планируемый объем выпуска тканей (b_j): 1200, 900, 1800, 840 м.

Требуется распределить выпуск ткани по станкам с целью минимизации общей себестоимости производства ткани.

Решение. Составим распределительную таблицу 9.

Общая себестоимость составит:

Ограничения имеют вид по фондам времени, ч:

по объемам выпуска, м:

Выберем базовый ресурс λ₁, тогда

α₁ = 24/24 = 30/30 == 18/18 = 42/42 = 1;

α₂ = 12/24 = 15/30 = 9/18 = 21/42 = 1/2;

α₃ = 8/24 = 10/30 = 6/18 = 14/42 = 1/3.

Пересчитаем фонды времени станков:

a′₁= 1*90 = 90 ч;a′₂= 1/2*220 = 110 ч; a′₃= 1/3*180 = 60 ч. Из этих величин следует, что тот объем работ, который второй станок выполняет за свой фонд времени 220 ч, базовый станок сможет выполнить за 110 ч. Аналогично объем работ, который третий станок выполняет за 180 ч, базовый выполнит за 60 ч.

Пересчитаем плановое задание:

b′₁ = 1200/24 = 50 ч;b′₂ = 900/30 = 30 ч; b′₃ = 1800/18 = 100 ч;
b′₄ = 840/42 = 20 ч. Отсюда следует, что план выпуска первого вида ткани базовый станок выполнит за 50 ч, второго вида – за 30 ч и т.д.

Получим транспортную задачу:

В результате решения получим оптимальное решение

Преобразуем опорный план ТЗ X′ в опорный план РЗ

Таким образом, первый станок должен 50 ч производить ткань первого вида, 30 ч – ткань второго вида и 10 ч – ткань третьего вида. Второй станок должен 180 ч производить ткань третьего вида и 40 ч – ткань четвертого вида. А третий станок будет простаивать, не выпуская ткань вообще, т.к. согласно решению, его загрузка находится в фиктивном столбце ( x₃₅ = 180). Определим, сколько метров ткани каждого вида должны произвести станки:

Экономико-математическая модель задачи об использовании мощностей

Здравствуйте нужна помощь. Есть задача.
На двух автоматических линиях выпускают аппараты трех типов: А, B, C. Другие данные условия задачи приведены в табл.
Составить такой план загрузки станков, чтобы затраты были минимальными, а задание выполнено не более чем за 10 суток.

Часть ее я решил через поиск решения, как ввести ограничения по времени в поиск решения я не понимаю((, точнее при моем варианте ввода ограничения поиск решений пишет «Писк решений не может найти подходящего решения» Пожалуйста гляньте Excel Подскажите что я не так делаю?

Вложения

Математическая модель и симплекс метод решения задачи
Для изготовления четырех видов продукции (А,B,C,D) используются три вида ресурсов(I,II,III).Другие.

Каким требованиям соответствует экономико-математический модель?
Каким требованиям соответствует экономико-математический модель?

Математическая модель
Помогите с математической моделью Дана точка на плоскости с координатами (х, у).Составить.

Математическая модель
Помогите, пожалуйста, написать прогу в Паскале.Дана математическая модель работы механосборочного.

Вложения

К сожалению и этот способ противоречит ограничению. Первая линия все равно выбивается из предела 10 дней.Как я понимаю при действии этого ограничения производство должно быть поделено между первой и второй линией.
А не так, как сейчас, первая линия загружена на полную, а вторая простаивает.

__ Согласен в условии нигде не написано что должны быть полностью обе линии. Но по иному не получается при соблюдении всех условий.
__ Теперь по поводу времени. Тут возможно я виноват, что не сообразил написать. Я решаю задачу по экономико-математической модели. Вот ее основные условия
__ Все х (Дни)т.е должны быть больше нуля. В задании сказано, что план загрузки станков не превышает 10 дней. Поэтому во второй формуле суммарное время работы первой линии не может превышать 10 дней, как собственно и у второй линии.
__ С третей системой все просто и понятно.
__ Четвертое является целевой функцией.
__ В решении предложенном вами время работы первой линии где то семнадцать дней. Точно не считал просто по процентам прикинул(20 это 50 процентов Т.е 5 дней остальнуе 6,6 и 6,2 дня соответственно).
Или я чего то не так понимаю?

У вас дано в таблице «Производительность линии в штуках в сутки», т.е. в сутки первая линия выпустит А — 4 штуки, вторая линия — 3 штуки. Следовательно, за 10 дней: первая линия — 40 штук, вторая линия — 30 штук, а план на тип А — 50 штук.

Я с вами согласен, просто меня смущает ограничения второй системы. Предложенный вами вариант вроде бы правильный, но опять же он не по экономико-математической модели. С вашей помощью я немного переделал свой Excel но все равно сильно сомневаюсь в его правильности.
P.S. Да давайте перенесем тему.

математическая модель
помогите плиз математическая модель солнечной системы

Математическая модель
Постройте математическую модель игры в "Спортлото". Составьте алгоритм для вычислителя помогающий.

Математическая модель
Помогите составить матем. модель к задаче: написать программу, по длинам сторон распознающую среди.

Математическая модель ругается
Здравствуйте, пишу математическую модель пневмодвигателя (есть ротор с лопатками, который крутится).

Источник https://extxe.com/3606/avtomaticheskie-linii-massovaja-obrabotka-avtomaticheski-upravljaemymi-stankami/

Источник https://studopedia.ru/12_148255_obshchaya-postanovka-dvuhindeksnih-zadach.html

Источник https://www.cyberforum.ru/optimization-methods/thread1453022.html